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By Dirk Ferus

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Wenn z1 + z2 = 0, brauchen wir nichts zu zeigen. Wir nehmen daher an, dass z1 + z2 = 0. Dann gilt z1 z2 z1 + z2 = Re + Re z1 + z2 z1 + z2 z1 + z2 z1 |z1 | |z2 | z2 ≤ + = + . z1 + z2 z1 + z2 |z1 + z2 | |z1 + z2 | 1 = Re Nach Multiplikation dieser Ungleichung mit |z1 + z2 | > 0 folgt die Behauptung. Wenn man die auf die komplexen Zahlen erweiterte Bedeutung des Absolutbetrags zugrunde legt, kann man die Konvegenz komplexer Folgen genauso wie im Reellen definieren: 57 Definition 100. Sei (zn ) eine komplexe Folge.

Die Folge (xn ) heißt konvergent gegen a ∈ R, wenn es zu jedem > 0 eine nat¨ urliche Zahl N gibt, so dass |xn − a| < f¨ ur alle n ≥ N. Man schreibt dann xn → a oder limn→∞ xn = a, auch kurz lim xn = a. Die Zahl a heißt der Grenzwert oder Limes der Folge. Man nennt die Folge (xn ) konvergent, wenn es ein a gibt, gegen das sie konvergiert. Andernfalls nennt man sie divergent. Sprachlich kann man das so formulieren: Jede – noch so kleine! – Toleranz f¨ ur die Abweichung vom Grenzwert a wird nur von endlich vielen Folgegliedern (n¨ amlich h¨ochstens denen mit n < N ) u ¨berschritten.

Der Punkt p muss nicht im Definitionbereich D von f liegen, aber weil er ein H¨aufungspunkt von D ist, kann x wirklich in D gegen p gehen“. ” 2. Die Bedingung (32) besagt, dass man die Abweichung des Funktionswertes f (x) von a kontrollieren kann, indem man die Abweichung des Arguments von p kontrolliert. Beispiel 107. Wir betrachten f¨ ur k ≥ 1 die Funktion f : C → C, z → z k . Wir behaupten lim z k = 1. z→1 Weil D = C ist, ist f¨ ur alle δ > 0 Uδ∗ (1) ∩ D = ∅. (33) Weiter gilt f¨ ur |z| < 2 |z k − 1| = |z − 1||z k−1 + .

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Analysis I [Lecture notes] by Dirk Ferus

by Jeff

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